Kuinka laskea hetkellinen nopeus

Nopeusmääritellään kohteen nopeudeksi tietyssä suunnassa. Nopeuden löytämiseksi käytämme monissa yleisissä tilanteissa yhtälöä v = s / t, jossa v on yhtä suuri kuin nopeus, s on yhtä suuri kuin kokonaissiirtymä kohteen alkuasennosta ja t on yhtä suuri kuin kulunut aika. Tämä antaa kuitenkin teknisesti vain esineen keskiverto nopeus polun yli. Laskennan avulla on mahdollista laskea kohteen nopeus milloin tahansa sen polkua pitkin. Tätä kutsutaan hetkellinen nopeus ja se määritetään yhtälöllä v = (ds) / (dt) tai toisin sanoen objektin johdannainenkeskimääräinen nopeusyhtälö.

Askeleet

Osa yksi / 3: Hetkellisen nopeuden laskeminen

1. yksi Aloita nopeuden yhtälöllä siirtymän suhteen. Kohteen hetkellisen nopeuden saamiseksi meillä on ensin oltava yhtälö, joka kertoo meille sen sijainnin (siirtymän suhteen) tietyssä ajankohdassa. Tämä tarkoittaa, että yhtälössä on oltava muuttuja s toisella puolella itsestään ja t toisaalta (mutta ei välttämättä itsestään), näin:
   

   s = -1,5 t²+ 10t + 4

   kyynärpään jännetulehdus

   • Tässä yhtälössä muuttujat ovat:

     Siirtymä = s . Etäisyys, jonka esine on kulkenut lähtöasennostaan. Esimerkiksi jos esine menee 10 metriä eteenpäin ja 7 metriä taaksepäin, sen kokonaissiirtymä on 10 - 7 = 3 metriä (ei 10 + 7 = 17 metriä).

     Aika = t . Ei kaipaa perusteluja. Tyypillisesti mitattu sekunteina.

2. 2 Ota yhtälön johdannainen. johdannainenYhtälön yhtälö on vain erilainen yhtälö, joka kertoo sinulle kaltevuutensa tietyssä ajankohdassa. Löydä siirtokaavan johdannainen erottamalla funktio tällä johdannaisten löytämisen yleisellä säännöllä: Jos y = a * xⁿ, Johdannainen = a * n * x^n-1 Tätä sääntöä sovelletaan kaikkiin yhtälön t-puolella oleviin termeihin.
   • Toisin sanoen, aloita käymällä yhtälön t-puoli vasemmalta oikealle. Aina kun saavutat 't': n, vähennä yksi eksponentista ja kerro koko termi alkuperäisellä eksponentilla. Kaikki vakiotermit (termit, jotka eivät sisällä 't') katoavat, koska ne kerrotaan 0: lla. Tämä prosessi ei ole oikeastaan ​​niin kovaa kuin miltä se kuulostetaan - johdetaan esimerkin edellisen vaiheen yhtälö:
     

     s = -1,5 t²+ 10t + 4
     (2) -1,5 t^(2-1)+ (1) 10t^yksitoista+ (0) 4p⁰
     -3 t^yksi+ 10t⁰
     -3t + 10

     
     
     

3. 3 Korvaa 's' sanoilla 'ds / dt. 'Osoittaaksemme, että uusi yhtälömme on johdannainen ensimmäisestä, korvataan' s 'merkinnällä' ds / dt '. Teknisesti tämä merkintä tarkoittaa 's: n johdannaista suhteessa t: hen'. Yksinkertaisempi tapa ajatella tätä on vain, että ds / dt on vain minkä tahansa ensimmäisen yhtälön tietyn pisteen kaltevuus. Esimerkiksi löytääksesi viivan kaltevuuden, jonka s = -1,5t²+ 10t + 4 t = 5: ssä, vain liitämme '5': n t: ään sen johdannaisessa.
   • Käynnissä olevassa esimerkissä valmiin yhtälön pitäisi nyt näyttää tältä:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 4 Liitä uuden yhtälön t-arvo hetkellisen nopeuden selvittämiseen. Nyt kun sinulla on johdannaisyhtälösi, hetkellisen nopeuden löytäminen missä tahansa ajankohdassa on helppoa. Sinun tarvitsee vain valita arvo t: lle ja liittää se johdannaisyhtälöön. Esimerkiksi, jos haluamme löytää hetkellisen nopeuden t = 5, korvaamme t: llä vain '5' johdannaisessa ds / dt = -3 + 10. Sitten ratkaisemme yhtälön näin:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 metriä sekunnissa

   • Huomaa, että käytämme etikettiä 'metriä / sekunti' yllä. Koska käsittelemme siirtymää metreinä ja aikaa sekunteina ja nopeus yleensä on vain siirtymä ajan myötä, tämä merkki on sopiva.
   Mainos

Osa 2 / 3: Hetkellisen nopeuden arvioiminen graafisesti

1. yksi Kuvaa objektisi siirtymä ajan myötä. Edellä mainitussa osassa mainitsimme, että johdannaiset ovat vain kaavoja, joiden avulla löydämme kaltevuuden missä tahansa pisteessä yhtälölle, jolle johdannainen otetaan. Itse asiassa, jos edustat kohteen siirtymistä kaavion viivalla, viivan kaltevuus missä tahansa pisteessä on yhtä suuri kuin kohteen hetkellinen nopeus kyseisessä pisteessä.
   • Kuvaa kohteen siirtymä käyttämällä x-akselia edustamaan aikaa ja y-akselia edustamaan siirtymää. Sitten vainjuoni pisteitäliittämällä t: n arvot siirtymäyhtälöön, saamalla s-arvot vastauksillesi ja merkitsemällä t, s (x, y) -pisteet kaavioon.
   • Huomaa, että kaavio voi ulottua x-akselin alle. Jos objektisi liikettä edustava viiva putoaa x-akselin alapuolelle, se edustaa kohdetta, joka liikkuu taaksepäin siitä, mistä se alkoi. Yleensä kaavio ei ulotu y-akselin taakse - emme mittaa usein taaksepäin liikkuvien kohteiden nopeutta!
2. 2 Valitse yksi piste P ja piste Q, joka on sen lähellä linjalla. Viivan kaltevuuden löytämiseksi yhdestä pisteestä P käytämme temppua nimeltä '' raja-arvon ottaminen ''. Rajan ottaminen edellyttää, että otetaan kaksi pistettä (P, plus Q, lähellä oleva piste) kaarevalla viivalla ja löydetään ne linjan kaltevuus, joka yhdistää ne yhä uudelleen, kun P: n ja Q: n välinen etäisyys pienenee.
   • Sanotaan, että siirtymisviiva sisältää pisteet (1,3) ja (4,7). Tässä tapauksessa, jos haluamme löytää kaltevuuden kohdasta (1,3), voimme asettaa (1,3) = P ja (4.7) = Q .
3. 3 Etsi kaltevuus P: n ja Q: n välillä. P: n ja Q: n välinen kaltevuus on P: n ja Q: n y-arvojen ero verrattuna P: n ja Q: n x-arvojen eroon. H = (ja_Q- Y_P) / (x_Q- x_P) , missä H on kahden pisteen välinen kaltevuus. Esimerkissämme kaltevuus P: n ja Q: n välillä on:
   

   H = (ja_Q- Y_P) / (x_Q- x_P)
   H = (7-3) / (4-1)
   H = (4) / (3) = 1.33

   
   
   

4. 4 Toista useita kertoja siirtämällä Q lähemmäksi P. Tavoitteenasi on tehdä P: n ja Q: n etäisyydestä pienempi ja pienempi, kunnes se tulee lähelle yhtä pistettä. Mitä pienempi etäisyys P: n ja Q: n välillä on, sitä lähempänä pienien viivasegmenttien kaltevuus on pisteen P kaltevuuteen. Tehdään tämä muutama kerta esimerkkikaavallemme käyttämällä pisteitä (2,4,8), (1,5 , 3,95) ja (1,25,3,49) Q: lle ja alkuperäinen piste (1,3) P: lle:
   

   Q = (2,4,8): H = (4,8-3) / (2-1)
   H = (1,8) / (1) = 1.8
   
   Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (.95) / (.5) = 1.9
   
   Q = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (.49) / (. 25) = 1.96

5. 5 Arvioi kaltevuus äärettömän pienelle aikavälille viivalla. Kun Q tulee lähemmäksi ja lähempänä P: tä, H tulee lähemmäksi ja lähemmäksi pisteessä P olevaa kaltevuutta. Loppujen lopuksi äärettömän pienellä aikavälillä H on yhtä suuri kuin kaltevuus P: ssä. Koska emme pysty mittaamaan tai laskemaan äärettömästi pieni väli, arvioimme vain kaltevuuden P: ssä, kun se on selvä kokeilluista pisteistä.
   • Esimerkissämme, kun siirrimme Q lähemmäksi P: tä, saimme H: lle arvot 1,8, 1,9 ja 1,96. Koska nämä luvut näyttävät lähestyvän 2, voimme sanoa, että 2 on hyvä arvio kaltevuudelle P: ssä.
   • Muista, että viiva tietyssä pisteessä on sama kuin johdon yhtälön derivaatti kyseisessä pisteessä. Koska viiva näyttää kohteen siirtymän ajan myötä ja kuten näimme yllä olevasta osiosta, kohteen hetkellinen nopeus on johdannainen sen siirtymisestä tietyssä pisteessä, voimme myös sanoa, että 2 metriä sekunnissa on hyvä arvio hetkelliselle nopeudelle, kun t = 1.
   Mainos

Osa 3 / 3: Esimerkkiongelmat

1. yksi Selvitä hetkellinen nopeus t = 4: ssä, koska siirtymäyhtälö s = 5t³- 3t²+ 2t + 9. Tämä on aivan kuten esimerkkimme ensimmäisessä osassa, paitsi että käsittelemme kuutioyhtälöä eikä neliöllistä yhtälöä, joten voimme ratkaista sen samalla tavalla.
   • Ensinnäkin otamme yhtälömme johdannaisen:
     

     s = 5t³- 3t²+ 2t + 9
     s = (3) 5t^(3-1)- (2) 3p^{(kaksikymmentäyksi)}+ (1) 2t^{(1-1) + (0) 9t0 - 1
     15t(2)- 6t(yksi)+ 2t(0)
     15t(2)- 6t + 2}

   • Sitten liitämme t: n (4) arvon:
     

     s = 15 t⁽²⁾- 6t + 2
     15 (4)⁽²⁾- 6 (4) + 2
     15 (16) - 6 (4) + 2
     240 - 24 + 2 = 218 metriä sekunnissa

     
     
     

     tennismailojen koot aikuisille

2. 2 Käytä graafista estimointia löytääksesi hetkellinen nopeus kohdassa (1,3) siirtymäyhtälölle s = 4t²- t. Tätä ongelmaa varten käytämme (1,3) P-pisteemme, mutta meidän on löydettävä muutama muu piste sen läheltä, jotta voimme käyttää sitä Q-pisteinä. Sitten on vain löydettävä H-arvomme ja tehtävä arvio.
   • Ensin löydetään Q-pisteet t = 2, 1,5, 1,1 ja 1,01.
     

     s = 4t²- t
     
     t = 2: s = 4 (2)²- (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, niin Q = (2,14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5)²- (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, joten Q = (1,5,7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1,1)²- (1.1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, joten Q = (1,1,3,74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01)²- (1.01)
     4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, siis Q = (1,01,3,0704)

   • Seuraavaksi saatetaan H-arvomme:
     

     Q = (2,14): H = (14-3) / (2-1)
     H = (11) / (1) = yksitoista
     
     Q = (1,5,7,5): H = (7,5-3) / (1,5-1)
     H = (4,5) / (5) = 9
     
     Q = (1,1,3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (.74) / (.1) = 7.3
     
     Q = (1,01,3,0704): H = (3,0704-3) / (1,01-1)
     H = (.0704) / (. 01) = 7.04

   • Koska H-arvomme näyttävät olevan lähellä melkein 7, voimme sanoa sen 7 metriä sekunnissa on hyvä arvio hetkelliselle nopeudelle kohdassa (1,3).
   Mainos

Yhteisön kysymykset ja vastaukset

Hae Lisää uusi kysymys

• Kysymys Mitä eroa on hetkellisellä ja keskimääräisellä nopeudella? Hetkellinen on tuolloin, kun taas keskiarvo on koko ajanjakson keskiarvo.
• Kysymys Kuinka lasken hetkellisen kiihtyvyyden? Välitöntä kiihtyvyyttä voidaan pitää hetkellisen nopeuden derivaatan arvona. Esimerkiksi: s = 5 (t ^ 3) - 3 (t ^ 2) + 2t + 9 v = 15 (t ^ 2) - 6t + 2 a = 30t - 6 Jos haluamme tietää hetkellisen kiihtyvyyden t = 4, sitten a (4) = 30 * 4-6 = 114 m / (s ^ 2)
• Kysymys Milloin hetkellinen nopeus ja keskinopeus ovat samat? Hetkellinen nopeus kertoo kohteen nopeuden yhdellä hetkellä. Jos kohde liikkuu vakionopeudella, keskimääräinen nopeus ja hetkellinen nopeus ovat samat. Kaikissa tilanteissa ne eivät todennäköisesti ole samanlaisia.

Vastaamattomat kysymykset

• Kuinka löydän nopeuden nollan kahden kerran välillä? Vastaus
• Kuinka löydän nopeuden nollan kahden kerran välillä? Vastaus
• Kuinka lasken 5t + 12t ^ 2? Vastaus

Esitä kysymys 200 merkkiä jäljellä Lisää sähköpostiosoitteesi saadaksesi viestin, kun tähän kysymykseen vastataan. Lähetä
Mainos

Video . Tätä palvelua käyttämällä joitain tietoja voidaan jakaa YouTuben kanssa.

Vinkkejä

• Löydä kiihtyvyys (nopeuden muutos ajan myötä) käyttämällä ensimmäisen osan menetelmää saadaksesi johdannaisyhtälön siirtofunktiollesi. Ota sitten toinen johdannainen, tällä kertaa johdannaisyhtälösi. Tämä antaa sinulle yhtälön kiihtyvyyden löytämiseen tiettynä ajankohtana - sinun tarvitsee vain kytkeä aika-arvo.
• Y (yhtälö) X: ään (aika) liittyvä yhtälö voi olla todella yksinkertainen, kuten esimerkiksi Y = 6x + 3. Tällöin kaltevuus on vakio eikä kaltevuuden löytämiseksi tarvitse löytää johdannaista, mikä on lineaaristen kaavioiden perusmallin Y = mx + b mukaisesti 6.
• Siirtymä on kuin etäisyys, mutta sillä on asetettu suunta, tämä tekee siirtymästä vektorin ja nopeuden skalaarin. Siirtymä voi olla negatiivinen, kun taas etäisyys on vain positiivinen.

Mainos Lähetä vihje Kaikki vihjeet lähetetään tarkasti läpi ennen niiden julkaisemista Kiitos, että lähetit vinkin tarkistettavaksi!